Gauss a montré qu’il est possible d’énoncer les lois de la géométrie d’une surface courbe quelconque (sphère, ellipsoïde, etc.) sous une forme indépendante du système de coordonnées. On comprend qu’en ajoutant deux dimensions on pourra, par une généralisation de cette théorie, énoncer les lois de l’Univers non euclidien à quatre dimensions.
Gauss est parti de l’idée qu’il doit être possible, par des opérations de géodésie sur la surface, de mettre en évidence la courbure de celle-ci en faisant simplement des opérations locales d’arpentage, par les procédés habituels de la géométrie euclidienne du plan. En effet, en tout point d’une surface, il existe un plan tangent et dans une étendue limitée la surface peut être confondue avec son plan tangent : ceci est d’autant plus exact que l’étendue envisagée autour du point est plus petite, et devient rigoureux à la limite, pour une étendue infiniment petite.
Traçons sur la surface une famille de courbes arbitraires (fig. 12) ; .jpg)
Fig. 12. désignons chacune de ces courbes par un chiffre et figurons les courbes ; entre deux de ces courbes, on peut imaginer une infinité de courbes représentant tous les nombres compris entre les deux nombres entiers qui désignent les deux courbes envisagées. Ces courbes sont seulement assujetties à la condition de ne
