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APPENDICE

trique en $\mu$ et $\rho$ , symétriques gauches tous deux en $\nu$ et $\sigma$ . Mais aucun de ces tenseurs n’est absolu, car les $g_{\mu \nu }$ interviennent pour abaisser l’indice $\rho$ .

La variation d’un vecteur est ainsi mise sous la forme (16-6) et l’on a la formule (16-7), sans aucune restriction.

Invariants absolus. — Il n’existe pas de fonction invariante absolue des potentiels, mais on peut trouver des densités invariantes absolues.

^{\ast }(\mathrm {R} )^{2}{\sqrt {-g}}\;;\qquad ^{\ast }\mathrm {R} _{\mu \nu }{^{\ast }\mathrm {R} }^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\;;\qquad ^{\ast }\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }{^{\ast }\mathrm {R} }_{\rho }^{\mu \nu \sigma }{\sqrt {-g}}\;;

\mathrm {F} _{\mu \nu }\mathrm {F} ^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}

;

\qquad g^{\alpha \beta }(^{\ast }\mathrm {R} )_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}.

$^{\ast }\mathrm {R}$ étant le scalaire $g^{\mu \nu }{}^{\ast }\mathrm {R} _{\mu \nu }$ . Il existe peut-être encore une densité invariante absolue dérivée de $^{\ast }\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho \alpha \beta }$ .

Le nombre des caractères d’Univers distincts dont les combinaisons peuvent s’exprimer par des nombres purs, indépendants de tout système de coordonnées et de jauges ne dépasse probablement pas 6.

Weyl a fait remarquer que c’est seulement dans un Univers à nombre pair de dimensions que les tenseurs fondamentaux donnent naissance à des densités invariantes absolues. On ne saurait imaginer un univers à nombre impair de dimensions, car il n’aurait aucun caractère absolu.

En plus de ces densités absolues, qui sont des caractéristiques absolues de l’Univers en chaque point, il y a un invariant absolu simple lié à un déplacement $\mathrm {A} ^{\mu }$ : c’est

^{\ast }\mathrm {R} _{\mu \nu }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\nu };

d’autres combinaisons plus compliquées pourraient être imaginées.

IDENTIFICATIONS PHYSIQUES. — Le système de jauges naturel. — Si nous voulons que la longueur