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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

$d\mathrm {A} _{\mu }$ est orthogonal à $\mathrm {A} _{\mu },$ parce que, $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }$ étant symétrique gauche en $\mu$ et $\rho$, on a

(16-4)

$\mathrm {A} ^{\mu }d\mathrm {A} _{\mu }={\frac {1}{2}}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }=0.$

La longueur généralisée du vecteur n’a pas changé, seule sa direction a varié. C’est la restriction admise dans la théorie d’Einstein. Supprimant cette restriction, nous devons remplacer $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }$ par un tenseur d’un type plus général ${^{\ast }}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }$. Or on peut écrire

(16-5)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\mathrm {B} _{\mu \nu \sigma \rho }={\frac {1}{2}}\left({^{\ast }}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }-{^{\ast }}\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma \mu }\right)\;$	sym. gauche en $\mu$ et $\rho ,$
$\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho }={\frac {1}{2}}\left({^{\ast }}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }+{^{\ast }}\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma \mu }\right)\;$	sym. en $\mu$ et $\rho .$

(16-6)

$d\mathrm {A} _{\mu }={\frac {1}{2}}\,{^{\ast }}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }\mathrm {A} ^{\rho }d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {B} _{\mu \nu \sigma \rho }+\mathrm {F} _{\rho \nu \sigma \rho }\right)\mathrm {A} ^{\rho }d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }.$

Comme la variation doit être annulée quand on décrit le circuit une seconde fois en sens inverse du premier parcours, tous ces tenseurs doivent être symétriques gauches en $\nu$ et $\sigma .$

Soit $l$ la longueur généralisée de $\mathrm {A} _{\mu }\;;$ on voit que

$(l+dl)^{2}=(\mathrm {A} _{\mu }+d\mathrm {A} _{\mu })(\mathrm {A} ^{\mu }+d\mathrm {A} ^{\mu })=l^{2}+2\mathrm {A} ^{\mu }d\mathrm {A} _{\mu }.$

(16-7)

$2l\,dl=\,{^{\ast }}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }=\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }.$

M. Weyl a adopté une limitation : il a supposé que $\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho }$ est décomposable en $g_{\mu \rho }\mathrm {F} _{\nu \sigma }\;;$ 2^o que $\mathrm {F} _{\nu \sigma }$ est le rotationnel d’un vecteur. D’après la première condition, (16-7) devient

(16-8)

$2l\,dl=\mathrm {F} _{\nu \sigma }(g_{\mu \rho }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho })\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }=\mathrm {F} _{\nu \sigma }l^{2}d\mathrm {S} ^{\nu \sigma },$

13. BECQUEREL