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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE
considérer, par définition, comme représentant la même unité qu’en
L’intégrabilité de la longueur (généralisée : voir note 11, no 9) est la restriction qui subsiste et qu’il faut supprimer.
Le champ de gravitation correspond à la non-intégrabilité de la direction. Soit en effet
un quadrivecteur ; faisons-lui décrire un circuit fermé par « déplacement parallèle » (note 11, no 12) c’est-à-dire tel que la dérivée covariante
soit constamment nulle.
(16-1)
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La variation de ce vecteur est
![{\displaystyle \delta \mathrm {A} ^{\mu }=\int {\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\nu }}}\,dx^{\nu }=-\int {\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\mu \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\alpha }dx_{\nu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e89b39389184814f49e4fb93afa5b9c93a5dc30)
Posons
est un tenseur symétrique gauche qui fait correspondre à l’aire élémentaire une direction positive de parcours sur le contour qui la limite. L’équation précédente s’écrit
![{\displaystyle \delta \mathrm {A} ^{\mu }=-{\frac {1}{2}}\iint \left[{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\left({\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\mu \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\alpha }\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\left({\begin{Bmatrix}\sigma \alpha \\\mu \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\alpha }\right)\right]ds^{\nu \sigma }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2575b2b853e573b2130ba9c1d81d1abd751e73e6)
(16-2)
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de même
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La condition nécessaire et suffisante pour que la variation soit nulle est que le tenseur de Riemann-Christoffel soit nul, c’est-à-dire que l’Univers soit euclidien. La non-