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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

De sorte que

$\mathrm {F} _{x_{1}},\;\mathrm {F} _{x_{2}},\;\mathrm {F} _{x_{3}},\;=-{\frac {c^{2}}{2}}\left({\frac {\partial g_{44}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial g_{44}}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial g_{44}}{\partial x_{3}}}\right)\cdot$

Si $\Omega$ est le potentiel au sens de la mécanique classique, on a

$\Omega ={\frac {c^{2}}{2}}g_{44}+$ C^te

et si, à l’infini $\Omega =0$ et $g_{44}=1$ (valeur galiléenne)

(12-21)

$g_{44}=1+{\frac {2\Omega }{c^{2}}}\cdot$

6^o LA LOI DU MOUVEMENT DU POINT MATÉRIEL LIBRE EST CONTENUE DANS LA LOI DE LA GRAVITATION. — Si l’on adopte des coordonnées devenant galiléennes à l’infini, on trouve aisément que les équations des géodésiques se réduisent en première approximation aux équations du mouvement de la vieille mécanique, et l’on obtient en même temps (12-21), relation que nous venons de déduire de la loi de conservation, c’est-à-dire de la loi de la gravitation qui implique la conservation du tenseur $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }.$

Ce résultat laisse penser qu’il n’y a pas indépendance entre la loi de la gravitation et la loi suivant laquelle un mobile libre a pour ligne d’Univers une géodésique. On peut le voir de différentes manières : voici une démonstration due à M. Jacques Rossignol.

Prenons des coordonnées telles que ${\sqrt {-g}}=1$, on a

$\mathrm {T} _{\mu \nu }^{\nu }={\frac {\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x_{\mu }}}\mathrm {T} ^{\alpha \beta }=0$