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APPENDICE

(12-18)

{\frac {\partial {\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}={\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \\\end{Bmatrix}}{\mathfrak {T}}_{\varepsilon }^{\nu }\qquad {\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }=\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }{\sqrt {-g}}

(densité tensorielle).

Ce sont les quatre conditions ( $\mu =1,2,3,4$ ) auxquelles la matière doit satisfaire ; elles déterminent l’impulsion et l’énergie communiquées à la matière par le champ de force,

Pour les comparer aux équations anciennes, comme en pratique l’Univers est presque euclidien et que les vitesses sont faibles, nous pouvons prendre des coordonnées très voisines des coordonnées galiléennes, les choisir de manière que ${\sqrt {-g}}=1$ et admettre que $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }$ se réduit à $\mathrm {T} _{4}^{4}\;:$ nous obtenons l’approximation faite en mécanique ordinaire

(12-19)

{\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}={\begin{Bmatrix}\mu 4\\4\\\end{Bmatrix}}\mathrm {T} _{4}^{4}={\begin{Bmatrix}\mu 4\\4\\\end{Bmatrix}}\rho .

Les forces. — Comparant (12-19) et (12-17) nous voyons que les trois symboles ${\begin{Bmatrix}14\\4\\\end{Bmatrix}},$ ${\begin{Bmatrix}24\\4\\\end{Bmatrix}},$ ${\begin{Bmatrix}34\\4\\\end{Bmatrix}}$ multipliés par $-c^{2}$ sont les composantes de la force principale, la force d’inertie de la mécanique qui produit une action proportionnelle à l’énergie (masse) ; la mécanique newtonienne néglige en général les autres « forces » ${\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \\\end{Bmatrix}}$ qui sont liées aux autres composantes du tenseur $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }$ c’est-à-dire aux quantités de mouvement et aux tensions internes.

Nous pouvons aussi écrire $\mathrm {T} _{\mu \nu }^{\nu }$ sous la forme (11-32), et faire ${\sqrt {-g}}=1$ nous obtenons, en première approximation

(12-20)

{\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}={\frac {1}{2}}\rho {\frac {\partial g_{44}}{\partial x_{\mu }}}\cdot