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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

d’autres formes

(12-13)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\mathrm {R} =-\varkappa \mathrm {T} _{\mu \nu }.$

Multiplions par $g^{\mu \nu }\;;$ remarquant que $g_{\mu \nu }g^{\mu \nu }=4$ (11-10), nous obtenons

(12-14)

$\mathrm {R} =\varkappa \mathrm {T} =\varkappa \rho _{0}\qquad \left(\mathrm {T} =g^{\mu \nu }\mathrm {T} _{\mu \nu }\right)$

car on voit facilement, d’après (12-9), que

(12-15)

$\;\mathrm {T} =g^{\mu \nu }\mathrm {T} _{\mu \nu }=\mathrm {T} _{\mu }^{\mu }=\mathrm {T} _{1}^{1}+\mathrm {T} _{2}^{2}+\mathrm {T} _{3}^{3}+\mathrm {T} _{4}^{4}=\alpha ^{2}\rho =\rho _{0}$

valeur indépendante du système de coordonnées, puisque c’est un scalaire.

Remplaçant, dans (12-13), $\mathrm {R}$ par $\varkappa \mathrm {T} ,$ la loi s’écrit

(12-16)

${\begin{array}{|c|}\hline \mathrm {R} _{\mu \nu }=-\varkappa \left(\mathrm {T} _{\mu \nu }-{\dfrac {1}{2}}g_{\mu \nu }\mathrm {T} \right).\\\hline \end{array}}$

5^o LES ÉQUATIONS DE L’HYDRODYNAMIQUE. — En mécanique classique, les quatre équations de l’hydrodynamique dans un champ de force peuvent se mettre sous la forme suivante, où $\rho \mathrm {F} _{x_{1}}\dots$ sont les composantes de la force s’exerçant sur l’unité de volume.

(12-17)

${\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}=-\left({\frac {\rho }{c^{2}}}\mathrm {F} _{x_{1}},\,{\frac {\rho }{c^{2}}}\mathrm {F} _{x_{2}},\,{\frac {\rho }{c^{2}}}\mathrm {F} _{x_{3}},\,0\right)$

en coordonnées galiléennes. En réalité il n’y a plus de telles coordonnées, mais c’est un fait dont on ne tient pas compte.

Les équations rigoureuses sont les équations $\mathrm {T} _{\mu \nu }^{\nu }=0,$ qui s’écrivent d’après (11-31)