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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$v_{x_{1}}$, $v_{x_{2}}$, $v_{x_{3}}$, sont les composantes de la vitesse $v$ de la matière au point $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $\rho$ est sa densité, égale à

${\frac {1}{\alpha ^{2}}}\rho \quad \left(\alpha ={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)\cdot$

b) La loi de conservation de l’impulsion-énergie. — En coordonnées galiléennes l’expression de la loi de conservation s’écrit

(12-10)

${\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}=0$ ($\nu$ indice muet).

Ces quatre équations ($\mu =1,2,3,4$) ne sont autres que les équations bien connues de l’hydrodynamique en l’absence d’un champ de force et dans les milieux dépourvus de frottement.

Nous remarquons que l’équation (12-10) est la forme dégénérée de l’équation tensorielle

(12-11)

$\mathrm {T} _{\mu \nu }^{\nu }=0.$

Cette équation tensorielle est donc l’expression générale de la loi, dans un Univers non euclidien. Nous avons d’ailleurs déjà dit que l’annulation de la divergence exprime la conservation.

c) La loi d’Einstein. — Du fait que les tenseurs $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu },$ et $\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R}$ ont tous deux une divergence nulle, il ne