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APPENDICE
vide, remplacent l’équation de Laplace
![{\displaystyle \mathrm {\Delta \Omega =0\quad \left(\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\quad \Omega } }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b80b28e3646d2d4ced14a2f63fd186a0d008e5b)
potentiel newtonien.
Il s’agit maintenant de trouver l’équation qui doit remplacer l’équation de Poisson
![{\displaystyle \mathrm {\Delta \Omega =4\pi G\rho } \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5013090aa0ac1d458eee7cc0043c32959172999)
(
![{\displaystyle \mathrm {\rho } }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49fcfd5a9e08e94feb3a0c7f4f32f93e3ed004df)
densité,
const. de la gravit. newt.).
La densité est l’énergie par unité de volume divisée par
. Or l’impulsion-énergie trouve son expression la plus générale dans un tenseur qui précisément se réduit à
dans le cas de la matière au repos, en coordonnées galiléennes. C’est ce tenseur qui doit remplacer
.
a) Le tenseur impulsion-énergie. — Les trois tenseurs d’impulsion-énergie associés ont pour expressions
(12-6)
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![{\displaystyle \mathrm {T^{\mu \nu }} =\rho _{0}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5cc5da8cc0be4e1ee399e0baf40074b2c758b8)
( ![{\displaystyle \rho _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c04a9d26b86af8c6205ba2a6287fd655b6b714) , densité au repos ou densité propre)
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(12-7)
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(12-8)
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et
sont symétriques. En coordonnées galiléennes
les composantes de
sont les suivantes.