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APPENDICE

b) Tenseur contrevariant $\mathrm {A} ^{\mu \nu }$. — La divergence est $\mathrm {A} _{\nu }^{\mu \nu }$ : en introduisant les densités tensorielles, on trouve

(11-33)

${\mathcal {A}}_{\mu \nu }^{\nu }={\frac {\partial {\mathcal {A}}^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}+{\begin{Bmatrix}\varepsilon \nu \\\mu \\\end{Bmatrix}}{\mathcal {A}}^{\varepsilon \nu }$

le dernier terme disparaît lorsque le tenseur est symétrique gauche.

Dans la théorie vectorielle, l’annulation de la divergence d’un vecteur exprime la continuité du flux de ce vecteur. Dans la théorie de l’univers quadridimensionnel, où intervient une coordonnée de temps, l’annulation d’une divergence est la condition la plus générale de conservation ou de permanence d’un quadrivecteur ou d’un tenseur.

15^o LE TENSEUR DE RIEMANN-CHRISTOFFEL. — La dérivée covariante du tenseur $g_{\mu \nu }$ est identiquement nulle. On peut cependant former un tenseur par différenciation à partir du tenseur fondamental seul.

Formons la dérivée seconde covariante $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }$ d’un vecteur arbitraire $\mathrm {A} _{\mu }$, puis le tenseur $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }-\mathrm {A} _{\mu \sigma \nu }$, le calcul donne

$\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }-\mathrm {A} _{\mu \sigma \nu }=\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }\mathrm {A} _{\rho }.$

(11-34)

${\begin{array}{|c|}\hline \mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }={\begin{Bmatrix}\mu \sigma \\\varepsilon \\\end{Bmatrix}}\!{\begin{Bmatrix}\varepsilon \nu \\\rho \\\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \\\end{Bmatrix}}\!{\begin{Bmatrix}\varepsilon \sigma \\\rho \\\end{Bmatrix}}+{\dfrac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!{\begin{Bmatrix}\mu \sigma \\\rho \\\end{Bmatrix}}-{\dfrac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\!{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\rho \\\end{Bmatrix}}\cdot \\\hline \end{array}}$

Puisque $\mathrm {A} _{\rho }$ est arbitraire et que $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }-\mathrm {A} _{\mu \sigma \nu }$ est un tenseur, la dernière des règles indiquées (n^o 6) montre que $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }$ est un tenseur. Il n’est constitué que par les $g_{\mu \nu }$ et leurs dérivées ; c’est un tenseur d’Univers.

Le tenseur contracté est