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APPENDICE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

représenter par $\mathrm {A} _{\mu \nu }$ Une multiplication suivie de contraction se nomme multiplication intérieure.

6^o PROCÉDÉS POUR RECONNAÎTRE LE CARACTÈRE TENSORIEL. — a) Lorsqu’un groupe de quantités $\mathrm {A} (\mu \nu \dots \alpha \beta \dots )$ déterminées par $n$ indices est tel que

(11-7)

$\mathrm {A} (\mu \nu \dots \alpha \beta \dots )\mathrm {B} _{\alpha \beta \dots }^{\mu \nu \dots }=$ invariant

pour un choix arbitraire d’un tenseur $\mathrm {B} _{\alpha \beta \dots }^{\mu \nu \dots }$ à $n$ indices, dont $n^{\prime }$ covariants et $n^{\prime \prime }$ contrevariants, on peut affirmer que $\mathrm {A} (\mu \nu \dots \alpha \beta \dots )$ est un tenseur contrevariant d’ordre $n^{\prime }$ et covariant d’ordre $n^{\prime \prime }.$

Ex. : Si $\mathrm {A(\mu \nu )B^{\mu }C^{\nu }=}$ invariant, $\mathrm {A(\mu \nu )}$ est un tenseur $\mathrm {A_{\mu \nu }} .$

Ce résultat est encore exact si pour un quadrivecteur quelconque $\mathrm {B^{\mu }}$ le produit intérieur $\mathrm {A(\mu \nu )B^{\mu }B^{\nu }=}$ invariant, à condition que $\mathrm {A(\mu \nu )=A(\nu \mu )} .$

b) Un groupe de quantités dont le produit intérieur par un quadrivecteur arbitraire est un tenseur est lui-même un tenseur.

Ex. : si $\mathrm {A(\mu \nu )B^{\nu }}$ est un quadrivecteur covariant, $\mathrm {A(\mu \nu )}$ est un tenseur covariant.

7^o TENSEURS FONDAMENTAUX. — Dans l’expression de l’invariant $ds^{2}$

(11-8)

$ds^{2}=g_{\mu \nu }dx_{\mu }dx_{\nu }$

$dx_{\mu }$ est un quadrivecteur covariant arbitraire ; donc d’après l’une des règles précédentes $g_{\mu \nu }$ qui est symétrique, est un tenseur covariant. C’est le tenseur covariant fondamental. Le tenseur contrevariant fondamental $g_{\mu \nu }$ s’obtient en écrivant le déterminant des $g_{\mu \nu }$ formant le mineur de chacun des $g_{\mu \nu }$ et divisant ce mineur par la valeur $g$ du déterminant.