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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

Seize grandeurs qui se transforment suivant la loi

(11-6)

$\mathrm {A} _{\sigma \tau }^{\prime }={\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x_{\sigma }^{\prime }}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x_{\tau }}}\mathrm {A} _{\mu \nu }$

forment un tenseur du second ordre covariant.

On généralise aisément pour définir des tenseurs d’ordre $n$. Un tenseur d’ordre $n$ possède $4^{n}$ composantes (dans une multiplicité à 4 dimensions). Un tenseur qui participe à la fois des deux modes de transformation est dit mixte : il est contrevariant vis-à-vis de certains indices et covariant vis-à-vis des autres.

Ex. : $\mathrm {A} _{\sigma \tau }^{\prime \rho }={\frac {\partial x_{\rho }^{\prime }}{\partial x_{\varepsilon }}}{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x_{\sigma }^{\prime }}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x_{\tau }^{\prime }}}\mathrm {A} _{\mu \nu }^{\varepsilon }.$

Un tenseur tel que $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma \rho \cdots }=\mathrm {A} _{\nu \mu \sigma \rho \cdots }$ est dit symétrique par rapport à $\mu$ et $\nu$. Un tenseur tel que $\mathrm {A} _{\mu \nu \cdots }=-\mathrm {A} _{\nu \mu \cdots }$ est dit symétrique gauche par rapport à $\mu$ et $\nu$. Un tenseur symétrique gauche d’ordre 2 possède six composantes distinctes (au signe près) : il n’y a pas de tenseur symétrique gauche d’ordre supérieur à quatre (du moins dans une multiplicité quadridimensionnelle).

4^o MULTIPLICATION. — Si l’on multiplie deux à deux les composantes d’un tenseur d’ordre $n$ et celles d’un tenseur d’ordre $n^{\prime }$, on obtient un tenseur d’ordre $n+n^{\prime }$.

Ex. : $\mathrm {A_{\alpha \beta }B^{\gamma \delta }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma \delta }}$

5^o CONTRACTION. — Partant d’un tenseur mixte, on peut former un tenseur d’ordre inférieur de deux unités en égalant un indice de caractère covariant et un indice contrevariant. Ex. : soit $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }^{\tau }$ ; imposons la condition $\mathrm {\sigma =\tau }$, nous obtenons $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }^{\sigma }$ qui n’est plus que du second ordre et peut se