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RELATIVITÉ RESTREINTE

Soient $\sigma ={\frac {e}{4\pi a^{2}}}$ la densité superficielle de charge, $p$ la pression de Poincaré, nécessaire à admettre pour expliquer que la charge ne se dissipe pas. La pression $p$ fait équilibre à la tension $2\pi \sigma ^{2}$ résultant de la répulsion mutuelle des éléments qui composent la charge.

On a donc

$p=2\pi \sigma ^{2}={\frac {e^{2}}{8\pi a^{4}}}\cdot$

Il en résulte une énergie potentielle $\mathrm {W} _{2}$ égale au produit de $p$ par le volume de l’électron.

$\mathrm {W} _{2}={\frac {4}{3}}\pi a^{3}p={\frac {1}{6}}{\frac {e^{2}}{a}}\cdot$

L’énergie potentielle totale de l’électron au repos est ainsi

(10-18)

$\mathrm {W} =\mathrm {W} _{1}+\mathrm {W} _{2}={\frac {2}{3}}{\frac {e^{2}}{a}}\cdot$

Or la masse de l’électron est ${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {2}{3}}{\frac {e^{2}}{a}}\;;$ on a par suite $mc^{2}=\mathrm {W} .$

Généralisation. — Dans tous les cas où l’on peut calculer l’énergie totale ${\displaystyle }$ d’un système, on la trouve égale à $mc^{2}.$ On est donc conduit à généraliser et à donner les lois énoncées page 66.

3^o L’IMPULSION D’UNIVERS. — Soit $d\tau$ l’élément de temps propre d’un point matériel $\left(d\tau ={\frac {1}{c}}ds\right).$ Les dérivées

${\frac {dx}{d\tau }},\quad {\frac {dy}{d\tau }},\quad {\frac {dz}{d\tau }},\quad {\frac {c\,dt}{d\tau }}$