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APPENDICE

II. — Dynamique de la relativité.

1^o LA MASSE EST FONCTION DE LA VITESSE. — Dans un système $\mathrm {S} ,$ un point matériel est supposé en mouvement avec la vitesse $v$ à l’instant $t.$

Introduisons un second système $\mathrm {S^{\prime }}$ animé de la vitesse $v$ par rapport à $\mathrm {S} .$ Dans $\mathrm {S^{\prime }} ,$ à l’instant considéré, le mobile a une vitesse nulle ; pendant le temps infiniment court qui suit, nous pouvons dans le système $\mathrm {S^{\prime }}$ appliquer les équations de la dynamique classique puisque le mobile part du repos dans ce système.

Soient $m_{0}$ la masse initiale ou masse au repos du point matériel ; $\mathrm {F_{x^{\prime }}^{\prime }} ,$ $\mathrm {F_{y^{\prime }}^{\prime }} ,$ $\mathrm {F_{z^{\prime }}^{\prime }} ,$ les composantes, mesurées par un observateur du système $\mathrm {S^{\prime }} ,$ de la force que subit ce point ; nous avons

(10-10)

$\quad m_{0}{\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}=\mathrm {F_{x^{\prime }}^{\prime }} ,\quad m_{0}{\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}=\mathrm {F_{y^{\prime }}^{\prime }} ,\quad m_{0}{\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}=\mathrm {F_{z^{\prime }}^{\prime }} .$

Pour avoir les équations de la dynamique dans le système $\mathrm {S}$, il faut chercher comment se transforment ${\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{\prime 2}}},$ ${\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{\prime 2}}},$ ${\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}$ et $\mathrm {F_{x^{\prime }}^{\prime }} ,$ $\mathrm {F_{y^{\prime }}^{\prime }} ,$ $\mathrm {F_{z^{\prime }}^{\prime }}$ en fonction des mesures faites dans le système $\mathrm {S} .$

Adoptons la disposition d’axes habituelle, en prenant $\mathrm {O} x$ et $\mathrm {O} x^{\prime }$ parallèles à $v.$ Les formules de Lorentz permettent de calculer ${\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}\ldots$ en fonction de $v$ et de ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\ldots ,$ en tenant compte de ce que ${\frac {dx}{dt}}=v$ à l’instant $t$ considéré. On trouve

(10-11)

$\quad {\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}={\frac {1}{\alpha ^{2}}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\quad {\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}={\frac {1}{\alpha ^{2}}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\quad {\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}={\frac {1}{\alpha ^{2}}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\cdot$