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APPENDICE

La disposition d’axes choisie exige que :

(5-2)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

quels que soient

$y$ et $z$

on ait à la fois

$x^{\prime }=0$

et

$x=vt$

—

$x$, $z$ et $t$

—

$y^{\prime }=0$

et

$y=0$

—

$x$, $y$ et $t$

—

$z^{\prime }=0$

et

$z=0$.

Les relations linéaires et homogènes qui donnent $x^{\prime }$, $y^{\prime }$, $z^{\prime }$, $t^{\prime }$ en fonction des $x$, $y$, $z$, $t$ contiennent dans le cas général 16 coefficients fonctions de $v$ ; avec la disposition envisagée, en vertu des conditions (5-2) il ne reste que 7 coefficients ; on les calcule aisément d’après l’identité (5-1) et l’on trouve les formules de Lorentz.

Note 6 (p. 44).

La composition des vitesses.

Différencions les équations de Lorentz.

$dx={\frac {1}{\alpha }}(dx^{\prime }+vdt^{\prime }),\qquad dy=dy^{\prime },\qquad dz=dz^{\prime },$

$dt={\frac {1}{\alpha }}\left(dt^{\prime }+{\frac {v}{c^{2}}}dx^{\prime }\right).$

Divisant les trois premières de ces équations par la dernière, nous obtenons

(6.1)

$\left\{{\begin{aligned}v_{x}^{\prime \prime }&={\frac {dx}{dt}}={\frac {v+v_{x}^{\prime }}{1+{\dfrac {vv_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},\\v_{y}^{\prime \prime }&={\frac {dy}{dt}}=\alpha {\frac {v+v_{y}^{\prime }}{1+{\dfrac {vv_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},\\v_{z}^{\prime \prime }&={\frac {dz}{dt}}=\alpha {\frac {v+v_{z}^{\prime }}{1+{\dfrac {vv_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}}.\end{aligned}}\right.$