Page:Becquerel - Exposé élémentaire de la théorie d’Einstein et de sa généralisation.djvu/114

110

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

Cette loi peut encore se mettre sous la forme suivante

(23)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }=-\varkappa \left(\mathrm {T} _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\mathrm {T} \right)$

$\mathrm {T}$ étant un invariant qu’on construit à partir de $\mathrm {T} _{\mu \nu }$ et qu’on trouve égal à $\varkappa \rho _{0},$ $\rho _{0}$ étant la densité au repos de la matière au point considéré, c’est-à-dire la densité qui serait mesurée par un observateur immobile par rapport à la matière^[1].

Dans le vide $\mathrm {T} _{\mu \nu }$ et $\mathrm {T}$ sont nuls, puisqu’il n’y a pas de matière et l’on retrouve bien la loi dans le vide $\mathrm {R} _{\mu \nu }.$

LOI DE NEWTON. — Si, dans les dix équations représentées par (22) ou (23), obtenues en donnant aux indices $\mu$ et $\nu$ les valeurs 1, 2, 3, 4 (les seize équations se réduisent à dix parce que les tenseurs sont symétriques : $\mathrm {R} _{\mu \nu }=R_{\nu \mu }$ et $\mathrm {T} _{\mu \nu }=T_{\nu \mu }$) on néglige les quantités qui pratiquement sont très petites, on trouve, en première approximation mais non comme loi exacte, la loi de Newton, et la constante $\varkappa$ se trouve déterminée en fonction de la constante connue $\mathrm {G}$ qui intervient dans l’expression de l’ancienne loi.

LA DYNAMIQUE. — Nous avons dit que, dans le vide, les dix équations $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0$ se réduisent à six conditions, à cause de quatre identités qui correspondent à la quadruple indétermination des coordonnées.

En tout point où il y a de la matière présente, les quatre mêmes identités sont encore vérifiées, car elles résultent de la définition mathématique du tenseur $\mathrm {R} _{\mu \nu }.$ Comme, d’autre part, la loi de la gravitation exprimée par (22) ou (23) traduit une relation entre $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ et $\mathrm {T} _{\mu \nu },$ les quatre identités se transforment en quatre équations^[2] entre les grandeurs qui

1. La densité varie avec la vitesse, puisque la masse et le volume dépendent de la vitesse.
2. Les équations sont des relations entre des grandeurs inconnues et des gran-