Page:Baire - Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité, 1905.djvu/9

THÉORIE DES NOMBRES IRRATIONNELS,
DES LIMITES ET DE LA CONTINUITÉ

---

SOMMAIRE

I. Définition des nombres irrationnels. — II. Bornes supérieure et inférieure d’un ensemble. — III. Limite d’une suite de nombres. — IV. Valeurs approchées d’un nombre. — V. Différence de deux nombres. — VI. Théorèmes sur les limites. — VII. Notions de fonction et de continuité. — VIII. Fonctions d’arguments rationnels. — IX. Principe d’extension. — X. Extension du calcul algébrique. — XI. Théorèmes sur les fonctions continues. — XII. Fonctions inverses. — XIII. Définition des fonctions ${\sqrt[{m}]{x}}$, $a^{x}$, $x^{y}$, $\log {x}$.

I

DÉFINITION DES NOMBRES IRRATIONNELS

1. Rappelons les propriétés suivantes de l’ensemble des nombres rationnels :

1^o De deux nombres rationnels différents, l’un est plus petit que l’autre ; si $a,b,c$ sont trois nombres rationnels tels que ${a<b}$, ${b<c}$, on a ${a<c}$. Ces faits s’expriment en disant que l’ensemble des nombres rationnels est ordonné.

2^o $a$ étant rationnel, il y a une infinité de nombres rationnels inférieurs à $a$, et aucun d’eux n’est supérieur à tous les autres ; il y a une infinité de nombres rationnels supérieurs à $a$,