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FONCTIONS INVERSES
49. Dans tous les cas, qu’il s’agisse d’un intervalle borné ou non, désignons par l’ensemble des valeurs que prend , par l’ensemble des valeurs que prend supposée continue et croissante ; à toute valeur de correspond une valeur de ; et réciproquement, si on se donne un nombre de , il y a un et un seul nombre de tel que ; donc ce nombre peut être considéré comme une fonction de que je désigne par . constitue un intervalle, avec cette réserve que l’une des bornes de cet intervalle, même si elle est finie, peut ne pas faire partie de .
est croissante, car il y a équivalence entre les conditions
et
,
c’est-à-dire, si ,,entre
et
.
Je dis que est continue, c’est-à-dire que si , , , , , sont des nombres de tels que , on a . Nous posons , . Supposons d’abord que ne soit pas une borne de l’ensemble , et prenons deux nombres et de tels que
.
Ces conditions entraînent, en posant , ,
.
Quand dépasse une certaine valeur , on a
,
d’où résulte
.
Cela exprime que tend vers ; donc tend vers .
Si est, par exemple, la borne supérieure de l’ensemble , il suffit de remarquer que l’on a alors et de conserver seulement, dans les doubles inégalités précédentes, la première inégalité.
Il est donc établi que est continue. La fonction est dite la fonction inverse de .
De même, si est une fonction continue décroissante, en posant , , on reconnaît que est une fonction continue décroissante.