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THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES

entre elles $\lambda$, et comme elles tendent toutes deux vers ${f(x_{0})}$ quand $\alpha$ prend une suite de valeurs tendant vers 0, il en résulte que ${f(x_{0})=\lambda }$.

On exprime ce fait en disant qu’une fonction continue d’une variable ne peut passer d’une valeur à une autre qu’en passant par toutes les valeurs intermédiaires.

45. Une fonction d’une ou plusieurs variables, continue dans un champ borné, est bornée et atteint, en certains points du champ, chacune de ses bornes supérieure et inférieure.

Je démontrerai d’abord la proposition préliminaire suivante :

Soit ${f(x,y,\ldots )}$ une fonction quelconque définie en tous les points d’un champ borné $\mathrm {C}$ ; soit $\mathrm {M}$ la borne supérieure (finie ou non) des valeurs de $f$ aux points de $\mathrm {C}$. Je dis qu’il y a un point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ de $\mathrm {C}$ tel que, quel que soit ${\varepsilon >0}$, dans le champ

$x_{0}-\varepsilon \leqslant x\leqslant x_{0}+\varepsilon$,$y_{0}-\varepsilon \leqslant y\leqslant y_{0}+\varepsilon$,$\ldots$,

la borne supérieure de $f$ est $\mathrm {M}$.

Soit $\mathrm {C}$ le champ borné à $p$ variables

(1)

$a\leqslant x\leqslant a'$,$b\leqslant y\leqslant b'$,$\ldots$.

Partageons $\mathrm {C}$ en $2^{p}$ champs partiels, chacun d’eux s’obtenant en remplaçant dans (1) l’intervalle de variation ${(a,a')}$, soit par ${\left(a,\,{\frac {a+a'}{2}}\right)}$, soit par ${\left({\frac {a+a'}{2}},\,a'\right)}$, et opérant de même pour chacune des variables $y,\ldots$ La borne supérieure de $f$ est égale à $\mathrm {M}$ dans l’un au moins de ces champs, car la borne dans $\mathrm {C}$ est égale à la plus grande des bornes dans les divers champs partiels. Soit $\mathrm {C} _{1}$ un champ partiel dans lequel $f$ a pour borne supérieure $\mathrm {M}$ ; désignons $\mathrm {C} _{1}$ comme il suit :

(2)

$a_{1}\leqslant x\leqslant a'_{1}$,$b_{1}\leqslant y\leqslant b'_{1}$,$\ldots$.