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THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES

Ces deux suites ont des limites que je désigne respectivement par $\mathrm {M}$ et $m$.

Comme chacun des nombres $\mathrm {M} _{n}$ est au moins égal à ${f(x_{0},y_{0},\ldots )}$, on a ${\mathrm {M} \geqslant f(x_{0},y_{0},\ldots )}$. Je dis qu’on ne peut avoir ${\mathrm {M} >f(x_{0},y_{0},\ldots )}$. Si cela était, en prenant $\lambda$ tel que ${\mathrm {M} >\lambda >f(x_{0},y_{0},\ldots )}$, on aurait ${\mathrm {M} _{n}>\lambda }$ ; on pourrait trouver dans le champ $\Gamma _{1}$ un point ${(x_{1},y_{1},\ldots )}$ tel que ${f(x_{1},y_{1},\ldots )>\lambda }$ ; dans $\Gamma _{2}$, un point ${(x_{2},y_{2},\ldots )}$ tel que ${f(x_{2},y_{2},\ldots )>\lambda }$, … ; et généralement, dans le champ $\Gamma _{n}$, un point ${(x_{n},y_{n},\ldots )}$ tel que ${f(x_{n},y_{n},\ldots )>\lambda }$. La suite des points $(x_{1},y_{1},\ldots )$, $(x_{2},y_{2},\ldots )$, $\ldots$, $(x_{n},y_{n},\ldots )$, $\ldots$ tend vers ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$, puisque $\alpha _{n}$ tend vers 0 et que ${|x_{n}-x_{0}|\leqslant \alpha _{n}}$, ${|y_{n}-y_{0}|\leqslant \alpha _{n}}$, …. Donc ${f(x_{n},y_{n},\ldots )}$ doit tendre vers ${f(x_{0},y_{0},\ldots )}$, ce qui est contradictoire avec le fait que tous les nombres ${f(x_{n},y_{n},\ldots )}$ surpassent ${\lambda >f(x_{0},y_{0},\ldots )}$.

Donc ${f(x_{0},y_{0},\ldots )=\mathrm {M} }$ ; de même ${f(x_{0},y_{0},\ldots )=m}$.

Les suites (2) ont pour limite commune ${f(x_{0},y_{0},\ldots )}$. Il en résulte que, étant donné ${\varepsilon >0}$, on peut déterminer $n$ de manière que $\mathrm {M} _{n}$ et $m_{n}$ diffèrent de ${f(x_{0},y_{0},\ldots )}$ de moins de $\varepsilon$, et par suite $\alpha$ de manière que, en tout point ${(x,y,\ldots )}$ du champ (1), on ait

(3)

$f(x_{0},y_{0},\ldots )-\varepsilon <f(x,y,\ldots )<f(x_{0},y_{0},\ldots )+\varepsilon .$

Réciproquement, si on suppose qu’à tout nombre positif $\varepsilon$ correspond ${\alpha >0}$ tel que, dans le champ (1), on a la condition (3), ${f(x,y,\ldots )}$ est continue au point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$. Car, soit une suite de points

${(x_{1},y_{1},\ldots ),\,(x_{2},y_{2},\ldots ),\,\ldots ,\,(x_{n},y_{n},\ldots ),\,\ldots }$

tendant vers ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ ; quand $n$ dépasse une certaine valeur $p$, le point ${(x_{n},y_{n},\ldots )}$ est contenu dans le champ (1), donc la condition (3) est vérifiée en remplaçant ${(x,y,\ldots )}$ par ${(x_{n},y_{n},\ldots )}$ ; ceci montre que ${f(x_{n},y_{n},\ldots )}$ a pour limite