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THÉORÈMES SUR LES LIMITES

Soit $\varepsilon$ un nombre positif, prenons $\alpha$ et $\beta$ tels que

$\alpha <\lambda <\beta$et$\beta -\alpha <\varepsilon$.

Quand $n$ surpasse un certain entier $p$, on a

$\alpha <u_{n}<\beta$et$\alpha <v_{n}<\beta$.

d’où

$|u_{n}-v_{n}|\leqslant \beta -\alpha <\varepsilon$ ;

$\varepsilon$ étant un nombre positif arbitraire, ceci exprime que ${|u_{n}-v_{n}|}$ a pour limite 0.

2^o Pour montrer que la condition est suffisante, je vais montrer qu’elle n’est pas remplie si $v_{n}$ ne tend pas vers $\lambda$. Dans cette hypothèse, des deux nombres $\mathrm {M}$ et $m$ relatifs à la suite (2), l’un au moins n’est pas égal à $\lambda$ ; l’une au moins des deux hypothèses ${\lambda <\mathrm {M} }$, ${\lambda >m}$ est vérifiée, sans quoi on aurait ${m\geqslant \lambda \geqslant \mathrm {M} }$, et comme ${\mathrm {M} \geqslant m}$, on aurait ${\mathrm {M} =m=\lambda }$.

Soit, par exemple, ${\lambda <\mathrm {M} }$. Soient $\alpha ,\beta$ deux nombres tels que

$\lambda <\alpha <\beta <\mathrm {M}$.

Quand $n$ dépasse une certaine valeur, on a

$u_{n}<\alpha$,

et, quel que soit $p$, pour une certaine valeur de ${n>p}$, on a

$v_{n}>\beta$.

De

$u_{n}<\alpha <\beta <v_{n}$

résulte

$|u_{n}-v_{n}|\geqslant \beta -\alpha$.

Il est donc impossible que ${|u_{n}-v_{n}|}$ ait pour limite 0.

La conclusion est la même dans le cas de ${\lambda >m}$, ce qui démontre le Théorème II.

25. En considérant le cas particulier où les nombres $u_{n}$ sont tous égaux à un même nombre $\lambda$, auquel cas la suite (1) a évidemment pour limite $\lambda$, on arrive à la conclusion suivante :

Théorème III. — Pour qu’une suite $v_{1},$ $v_{2},$ $\ldots ,$ $v_{n},$ $\ldots$ ait pour limite un nombre $\lambda$, il faut et il suffit que ${|v_{n}-\lambda |}$ ait pour limite 0.