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VALEURS APPROCHÉES D’UN NOMBRE
nombres rationnels , , tels que
;
prenons assez grand pour que
.
On a
,
d’où
,
ce qui contredit (4).
Ainsi on a
,
d’où
.
Ainsi est la borne supérieure des nombres , et la borne inférieure des nombres ; c’est aussi, par conséquent, la limite commune des deux suites (1) et (2). Donc :
Tout nombre peut être considéré comme la limite d’une suite de nombres rationnels non décroissante ou non croissante.
Si est irrationnel, aucun nombre n’est égal à .
19. Si est un nombre, et si est un nombre positif, on peut trouver deux nombres rationnels et tels que
,
.
En effet, prenons d’abord un nombre positif rationnel .
Si est rationnel, on prendra , .
Si est irrationnel, on prendra pour et les valeurs approchées de à près, par défaut et par excès.