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VALEURS APPROCHÉES D’UN NOMBRE

$k$ étant entier et ${>1}$, on reconnaît que dans la suite qui remplace (1), soit

$\ldots ,\quad -2\alpha ',\quad -\alpha ',\quad 0,\quad \alpha ',\quad 2\alpha ',\quad \ldots ,$

figurent les termes de (1), en particulier $n\alpha$ et $(n+1)\alpha$, de sorte que la valeur approchée par défaut à $\alpha '$ près de $\lambda$, $n'\alpha '$, est au moins égale à $n\alpha$ ; de même, $(n'+1)\alpha '$ est au plus égal à $(n+1)\alpha$.

Prenons une suite de nombres rationnels positifs $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},$ $\ldots ,$ $\alpha _{n},$ $\ldots$ tels que les quotients ${\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}}},$ ${\frac {\alpha _{2}}{\alpha _{3}}},$ $\ldots ,$ ${\frac {\alpha _{n}}{\alpha _{n+1}}}$ soient des entiers supérieurs à $1$ : $k_{1},$ $k_{2},$ $\ldots ,$ $k_{n},$ $\ldots .$ ${\bigg (}$On peut prendre par exemple ${\alpha _{n}={\frac {1}{10^{n}}}}{\bigg )}$. Dans ces conditions, $\alpha$ tend vers 0 quand $n$ croît indéfiniment, car

$\alpha _{n}={\frac {\alpha _{1}}{k_{1}k_{2}\ldots k_{n-1}}}<{\frac {\alpha _{1}}{2^{n-1}}}$

finit par être inférieur à tout nombre positif donné.

En désignant par $u_{n}$ et $v_{n}$ les valeurs approchées de $\lambda$ à $\alpha _{n}$ près, par défaut et par excès, on a

(1)	$u_{1}\leqslant u_{2}\leqslant \ldots \leqslant u_{n}\leqslant \ldots ,$
(2)	$v_{1}\geqslant v_{2}\geqslant \ldots \geqslant v_{n}\geqslant \ldots ,$
(3)	$u_{n}\leqslant \lambda \leqslant v_{n}$,
(4)	$v_{n}-u_{n}=\alpha _{n}$.

Si on désigne par $\mu$ la borne supérieure des $u_{n}$, par $\nu$ la borne inférieure des $v_{n}$, on déduit de (3) :

(5)

$\mu \leqslant \lambda \leqslant \nu$.

Je dis qu’on ne peut avoir ${\mu <\nu }$, car alors soient deux