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VALEURS APPROCHÉES D’UN NOMBRE

IV

VALEURS APPROCHÉES D’UN NOMBRE

17. Soit $\lambda$ un nombre, soit $\alpha$ un nombre rationnel positif. Cherchons à comparer $\lambda$ à tous les nombres $n\alpha$, ($n$ étant un entier positif, nul ou négatif), soient

(1)

$\ldots ,\quad -2\alpha ,\quad -\alpha ,\quad 0,\quad \alpha ,\quad 2\alpha ,\quad 3\alpha ,\quad \ldots .$

Prenons d’abord deux nombres rationnels $a,$ $b$, tels que ${a<\lambda <b}$ ; prenons un entier $p$ inférieur au nombre rationnel ${\frac {a}{\alpha }}$, un entier $q$ supérieur au nombre rationnel ${\frac {b}{\alpha }}$ ; on a

$p\alpha <a<\lambda <b<q\alpha$.

Bornons-nous à considérer les nombres $n\alpha$ de la suite (1) pour lesquels ${p\leqslant n\leqslant q}$ ; ils sont en nombre fini, le premier est inférieur à $\lambda$, le dernier est supérieur à $\lambda$ ; parmi ceux qui sont inférieurs ou égaux à $\lambda$, prenons le plus grand, soit $n\alpha$ ; le nombre suivant ${(n+1)\alpha }$, est supérieur à $\lambda$. Ainsi, on a

(2)

$n\alpha \leqslant \lambda <(n+1)\alpha$,

et il y a une seule valeur entière qui, mise à la place de $n$, vérifie les conditions (2). Les nombres $n\alpha ,(n+1)\alpha$, ainsi définis, sont les valeurs approchées à $\alpha$ près, par défaut et par excès, de $\lambda$.

18. Si on remplace $\alpha$ par un nombre $\alpha '$ tel que ${\alpha '={\frac {\alpha }{k}}}$,