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LIMITE D’UNE SUITE DE NOMBRES

1^o Si ${a>\mathrm {M} }$, les nombres de (1) sont tous, à partir d’un certain rang, inférieurs à $a$ ;

2^o Si ${a<\mathrm {M} }$, il y a, quel que soit $p$, un entier ${n>p}$ tel que ${u_{n}>a}$.

Cette double propriété ne peut appartenir qu’à un seul nombre ; elle caractérise donc le nombre $\mathrm {M}$. De même, $m$ possède la double propriété caractéristique suivante :

1^o Si ${a<m}$, les nombres de (1) sont tous, à partir d’un certain rang, supérieurs à $a$ ;

2^o Si ${a>m}$, il y a, quel que soit $p$, un entier ${n>p}$ tel que ${u_{n}<a}$.

15. Dans le cas où la suite (1) a une limite (sens étendu), soit $\lambda$, je dis qu’on a ${\mathrm {M} =m=\lambda }$. En effet, si $\lambda '$ et $\lambda ''$ sont tels que ${\lambda '<\lambda <\lambda ''}$, quand $n$ surpasse une certaine valeur $p$, on a

$\lambda '<u_{n}<\lambda ''$,

d’où

$\lambda '\leqslant m_{n}\leqslant \mathrm {M} _{n}\leqslant \lambda ''$,

et aussi

$\lambda '\leqslant m\leqslant \mathrm {M} \leqslant \lambda ''$.

On voit que $\mathrm {M}$ et $m$ sont au moins égaux à tout nombre $\lambda '$, par suite aussi à la borne supérieure $\lambda$ de ces nombres ; de même ils sont au plus égaux à la borne inférieure $\lambda$ des nombres $\lambda ''$. Donc ${\mathrm {M} =m=\lambda }$.

Réciproquement, supposons ${\mathrm {M} =m}$. Posons ${\mathrm {M} =m=\lambda }$. Soit ${\lambda '<\lambda =m}$, ${\lambda ''>\lambda =\mathrm {M} }$. Quand $n$ dépasse un certain entier $p$, on a

$\mathrm {M} _{n}<\lambda ''$,$m_{n}>\lambda '$,

et, par suite,

$\lambda '<u_{n}<\lambda ''$

ce qui montre que la suite (1) a pour limite $\lambda$.