Page:Baire - Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité, 1905.djvu/19

19

LIMITE D’UNE SUITE DE NOMBRES

semble des $u_{n}$ contient au moins un nombre supérieur à $\lambda '$, tous les nombres de la suite qui suivent celui-là ont la même propriété ; donc la condition (3) est vérifiée quand $n$ dépasse une certaine valeur.

Si les $u_{n}$ sont tous inférieurs à un certain nombre $\mathrm {A}$, on peut affirmer que la limite $\lambda$ est un nombre fini, au plus égal à $\mathrm {A}$ ; dans le cas contraire, $\lambda$ est égal à $+\infty$.

Suites non croissantes. — De la même manière, on reconnaît qu’une suite non croissante, soit

$u_{1}\geqslant u_{2}\geqslant \ldots \geqslant u_{n}\geqslant \ldots ,$

a pour limite sa borne inférieure $\lambda$ ; si les $u_{n}$ sont tous supérieurs à un certain nombre, $\lambda$ est fini ; dans le cas contraire, $\lambda$ est égal à $-\infty$.

14. Reprenons maintenant le cas général d’une suite de nombres quelconques

(1)

$u_{1},\quad u_{2},\quad \ldots ,\quad u_{n},\quad \ldots .$

Désignons par $\mathrm {M} _{p}$ et $m_{p}$ les bornes supérieure et inférieure de l’ensemble des nombres

$u_{p},\;u_{p+1},\;u_{p+2},\;\ldots .$

On a

$\mathrm {M} _{1}\geqslant \mathrm {M} _{2}\geqslant \ldots \geqslant \mathrm {M} _{p}\geqslant \ldots ,$

$m_{1}\leqslant m_{2}\leqslant \ldots \leqslant m_{p}\leqslant \ldots .$

Tous les nombres $\mathrm {M} _{p}$ et $m_{p}$ appartiennent à $\mathrm {R} '$ ; soient $\mathrm {M}$ la borne inférieure des nombres $\mathrm {M} _{p}$, $m$ la borne supérieure des nombres $m_{p}$.

Je dis qu’on a ${\mathrm {M} \geqslant m}$. Car si on avait ${\mathrm {M} <m}$, il y aurait un nombre $\lambda$ tel que ${\mathrm {M} <\lambda <m}$ ; pour certaines valeurs de $n$, on aurait ${\mathrm {M} _{n}<\lambda <m_{n}}$, d’où ${\mathrm {M} _{n}<m_{n}}$, ce qui est impossible.

$\mathrm {M}$ est dit la plus grande limite de la suite (1), $m$ sa plus petite limite. Le nombre $\mathrm {M}$ a les propriétés suivantes :