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LIMITE D’UNE SUITE DE NOMBRES

III

LIMITE D’UNE SUITE DE NOMBRES

12. Nous considérerons des suites infinies de nombres telles que

(1)

$u_{1},\;u_{2},\;\ldots ,\;u_{n},\;\ldots .$

On dit qu’une telle suite a pour limite le nombre $\lambda$ (ou encore que $u_{n}$ tend vers $\lambda$ quand $n$ croît indéfiniment) si, quels que soient les nombres $\lambda '$ et $\lambda ''$ satisfaisant aux conditions

(2)

$\lambda '<\lambda <\lambda ''$,

il y a un entier $p$ tel que, pour ${n>p}$, on a

(3)

$\lambda '<u_{n}<\lambda ''$.

Nous donnerons quelquefois une portée plus grande à la notion de limite, en supposant que $\lambda$ peut être un élément quelconque de $\mathrm {R} '$ (§ 11) ; ainsi, $\lambda$ peut être égal à $+\infty$ (auquel cas il n’y a pas lieu de considérer de nombre $\lambda ''$), ou à $-\infty$ (auquel cas il n’y a pas de nombre $\lambda '$).

Nous dirons que la première définition correspond au sens ordinaire du mot limite, et que la deuxième définition correspond au sens étendu. Le mot limite, employé seul, sera entendu dans le sens ordinaire.

13. Suites non décroissantes. — Considérons le cas particulier où la suite (1) est non décroissante, c’est-à-dire où l’on a

$u_{1}\leqslant u_{2}\leqslant \ldots \leqslant u_{n}\leqslant \ldots$

Soit $\lambda$ la borne supérieure de l’ensemble des nombres de la suite. Je dis que la suite a pour limite $\lambda$ (sens étendu). En effet, ${\lambda ''>\lambda }$, les $u_{n}$ sont tous inférieurs à $\lambda ''$ ; si $\lambda ''<\lambda$, l’en-