tel que appartiendrait à la seconde classe relative à , tout en étant inférieur à un nombre de , ce qui est impossible. La propriété 2o résulte de ce que, si , un nombre rationnel tel que appartient à la première classe, donc il y a dans un nombre supérieur ou égal à , par suite supérieur à .
Ces deux propriétés ne peuvent appartenir qu’au seul nombre , car un nombre inférieur à ne vérifie pas 1o, un nombre supérieur à ne vérifie pas 2o.
De la double propriété caractéristique du nombre résultent les conséquences suivantes :
Dans le cas où l’ensemble contient un nombre plus grand que tous les autres, est égal à ce nombre.
Si est un ensemble contenu dans , la borne supérieure de est inférieure ou égale à la borne supérieure de .
Si tous les nombres d’un ensemble sont inférieurs ou égaux à un nombre , il en est de même de la borne supérieure de .
Un nombre quelconque est la borne supérieure de l’ensemble des nombres inférieurs à .
10. On établit de même les propositions suivantes :
Étant donné un ensemble de nombres , ou bien il y a dans des nombres inférieurs à tout nombre réel, l’ensemble est dit alors illimité inférieurement ; ou bien il y a des nombres inférieurs à tous les nombres de , qui est alors dit borné inférieurement. Dans ce second cas, il existe un nombre qui est dit la borne inférieure de , et qui est caractérisé par la double propriété suivante :
1o Tout nombre de est supérieur ou égal à ;
2o Si est un nombre supérieur à , il y a dans un nombre inférieur à .
