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BORNES SUPÉRIEURE ET INFÉRIEURE D’UN ENSEMBLE

II

BORNES SUPÉRIEURE ET INFÉRIEURE D’UN ENSEMBLE

9. Soit $\mathrm {E}$ un ensemble quelconque de nombres réels. Un nombre rationnel $a$ peut se comporter, par rapport à $\mathrm {E}$, de deux manières :

1^o $a$ est inférieur ou égal à un nombre de $\mathrm {E}$ ;

2^o $a$ est supérieur à tous les nombres de $\mathrm {E}$.

Il y a certainement des nombres rationnels vérifiant la condition 1^o. Si aucun nombre rationnel ne vérifie la condition 2^o, c’est qu’il existe dans $\mathrm {E}$ des nombres supérieurs à tout nombre rationnel (et par suite à tout nombre réel) ; nous dirons alors que $\mathrm {E}$ est illimité supérieurement.

Dans le cas contraire, l’ensemble $\mathrm {E}$ est dit borné supérieurement ; les nombres rationnels se partagent alors en deux classes, la première composée des nombres vérifiant 1^o, la seconde composée des nombres vérifiant 2^o ; ce partage constitue une coupure, car tout nombre de la première classe est inférieur ou égal à un certain nombre de $\mathrm {E}$, lequel est inférieur à tout nombre de la seconde classe. Le nombre réel $\mathrm {M}$, défini par cette coupure (§ 4), est dit la borne supérieure^[1] de l’ensemble $\mathrm {E}$. Il possède les deux propriétés suivantes :

1^o Tout nombre de $\mathrm {E}$ est inférieur ou égal à $\mathrm {M}$.

2^o Si $\lambda$ est un nombre inférieur à $\mathrm {E}$, il y a dans $\mathrm {E}$ un nombre supérieur à $\lambda$.

La propriété 1^o résulte de ce qu’il est impossible qu’un nombre $\alpha$ de $\mathrm {E}$ surpasse $\mathrm {M}$, car alors un nombre rationnel $a$

1. Ou encore limite supérieure.