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DÉFINITION DES NOMBRES IRRATIONNELS
font partie de , tous les nombres de font partie de . Un nombre rationnel ne peut se comporter, par rapport à et , que de trois manières :
I. fait partie de , par suite de ; on a
,
.
II. fait partie de et de ; on a
,
.
Cette catégorie comprend au moins le nombre ; elle comprend une infinité de nombres, car il y a, dans , dont fait partie , un nombre , soit ; tous les nombres rationnels compris entre et font partie de cette catégorie.
III. fait partie de , par suite de ; on a
,
.
Par définition, nous dirons qu’on a
.
3o Il y a dans un nombre qui n’est pas contenu dans . Ce cas ne diffère du précédent que parce que les rôles des nombres et sont permutés ; nous dirons qu’on a
.
De cette étude et des définitions données, il résulte que, si et sont deux nombres irrationnels :
Pour que , il faut et il suffit que tout nombre rationnel inférieur à l’un de ces nombres soit inférieur à l’autre ;
Pour que , il faut et il suffit qu’il existe un nombre rationnel tel que
,
.
7. L’ensemble des nombres réels est ordonné, c’est-à-dire que, si , sont trois nombres réels tels que
,
,
on a
.
Ces faits se trouvent établis : 1o dans le cas où les trois nombres sont rationnels (§ 1) ; 2o dans le cas où un seul des trois nombres est irrationnel (§ 5) ; 3o dans le cas où le nombre intermédiaire est rationnel, les autres étant tous deux irrationnels (§ 6) ou non (§ 5). Dans le cas général, prenons deux