Page:Bachelier - La Spéculation et le Calcul des probabilités, 1938.djvu/57

90. Époque moyenne. — Le cours pouvant sortir de l’intervalle $+c,-b$ à toutes les époques de zéro à l’infini, l’époque moyenne correspondant à cet intervalle est la somme des produits des probabilités pour que le cours sorte de l’intervalle à l’époque $t$ par la durée $t$ elle-même.

L’époque moyenne à laquelle le cours sort de l’intervalle $+c,-b$ est donnée par la formule

${\frac {cb}{2\pi k^{2}}}$.

Si, par exemple, ${b=c}$, l’époque moyenne ${\frac {c^{2}}{2\pi k^{2}}}$ est supérieure à l’époque probable dans le rapport de 4 à 3, environ.

91. Reprenons à titre d’exemple le problème suivant :

On achète de la rente avec l’intention de la revendre avec le bénéfice ${a=k{\sqrt {t}}}$ ou avec la perte $2a$ ; on termine l’opération si, à l’époque $t$, la revente n’a pu avoir lieu. Quels sont les principaux résultats que fournit le calcul des probabilités sur cette opération ?

La probabilité de revente avec le bénéfice $a$ est 0,652.

La probabilité de revente avec la perte $2a$ est 0,325.

La probabilité pour que la revente n’ait pas lieu avant l’époque $t$ est 0,023.

L’époque la plus probable de la revente avec le bénéfice $a$ est ${\frac {t}{6}}$.

L’époque la plus probable de la revente avec la perte $2a$ est ${\frac {2}{3}}t$.

L’époque probable de la revente est ${\frac {t}{4{,}6}}$.

L’époque moyenne est ${\frac {t}{\pi }}$.

92. Distribution des probabilités. — Il nous reste à résoudre le problème de la distribution des probabilités, c’est-à-dire à chercher la probabilité pour que le cours soit $x$ à l’époque $t$, les variations antérieures n’ayant jamais dépassé l’intervalle $-b,+c$.