Les quantités
et
sont les probabilités du troisième genre.
78. La probabilité pour que le cours
soit atteint dans l’intervalle de temps
, les variations en hausse n’ayant jamais atteint le cours
, s’obtiendra en remplaçant dans la formule précédente
par
et
par
. La probabilité pour que, jusqu’à l’époque
, le cours ne soit pas sorti de l’intervalle
, est
![{\displaystyle 1-\mathrm {P} _{b,c}-\mathrm {P} _{c,b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f61f261b22917bffc389a1e6928ac6fd1a20f9d)
.
79. Probabilité élémentaire. — En différentiant par rapport à
la formule
![{\displaystyle \mathrm {P} _{b,c}=\mathrm {P} _{b,\infty }-\mathrm {P} _{b+2c,\infty }+\mathrm {P} _{3b+2c,\infty }-\mathrm {P} _{3b+4c,\infty }+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe4d7b8bdbe3b631a739ef328c3d354ff6cc139)
,
on obtient la probabilité pour que le cours
soit atteint pour la première fois à l’époque
, les variations en hausse n’ayant pas précédemment atteint le cours
,
![{\displaystyle \Pi _{b,c}=\Pi _{b,\infty }-\Pi _{b+2c,\infty }+\Pi _{3b+2c,\infty }-\Pi _{3b+4c,\infty }+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/805982e55271ffee9fda34f99cf5b9a0930fe6b5)
.
Les probabilités élémentaires
se calculent par la formule (no 67)
![{\displaystyle \Pi _{b,\infty }={\frac {b\varphi '(t)\mathbf {e} ^{-{\frac {b^{2}}{\varphi (t)}}}}{{\sqrt {\pi }}\,\varphi (t){\sqrt {\varphi (t)}}}}\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005eb1571ebf195a8e4c6da4eb5d646488ff8c95)
.
Les probabilités du troisième genre s’expriment donc par des séries de probabilités du second genre.
80. Si aucune limite n’est fixée pour le temps, c’est-à-dire si
on a
![{\displaystyle \mathrm {P} _{c,b}={\frac {b}{c+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb891b97f1648babd3d29b19828c26fddb7be247)
,
![{\displaystyle \mathrm {P} _{c,b}={\frac {c}{c+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed503111ae9df2b51b039235c3596c902377e117)
.
81. Applications. — Les formules qui précèdent sont susceptibles d’un grand nombre d’applications intéressantes :
1o Si l’on suppose
,
est égal à 0,498. La