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En achetant ces deux primes, c’est-à-dire en versant la somme $4a$, on toucherait le plus grand écarts dans chaque sens, c’est-à-dire la différence entre le plus haut et le plus bas cours cotés dans l’intervalle de temps $t$.

77. Probabilités du troisième genre. — Quelle est la probabilité pour que le cours $c$ (supposé positif pour fixer les idées) soit atteint et dépassé dans l’intervalle de temps $t$, les variations en baisse n’ayant jamais atteint antérieurement un cours donné $-b$.

Je crois utile de présenter l’énoncé sous une forme plus explicite en l’appliquant à un exemple :

J’achète de la rente (à terme) avec l’intention de la revendre dans l’intervalle d’un mois si, dans cet intervalle de temps, elle se trouve à un moment donné 1^fr au-dessus de son cours actuel. Voulant limiter mon risque à 2^fr je m’engage à revendre ma rente si, dans le courant du mois, il se produit une baisse de 2^fr au-dessous du cours actuel.

On demande la probabilité pour que, dans le courant du mois, j’aie pu revendre avec le bénéfice de 1^fr ; la probabilité pour que j’aie revendu avec 2^fr de perte, et la probabilités pour que, au bout du mois, je n’aie pu faire aucune des revente.

Nous désignerons par $\mathrm {P} _{c,\infty }$ la probabilité déjà calculée (n^o 63)

${\begin{aligned}\mathrm {P} _{c,\infty }&=2{\mathcal {P}}_{c,\infty }=1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {c}{\sqrt {\varphi (t)}}}\mathbf {e} ^{-\lambda ^{2}}\,\mathrm {d} \lambda \\&=1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {c}{2{\sqrt {\pi }}a}}\mathbf {e} ^{-\lambda ^{2}}\,\mathrm {d} \lambda =1-\Theta {\left({\frac {c}{2{\sqrt {\pi }}a}}\right)},\end{aligned}}$

pour que le cours $c$ soit dépassé en supposant $b$ infini.

La probabilité demandée est exprimée par la série

$\mathrm {P} _{c,b}=\mathrm {P} _{c,\infty }-\mathrm {P} _{c+2b,\infty }+\mathrm {P} _{3c+2b,\infty }-\mathrm {P} _{3c+4b,\infty }+\mathrm {P} _{5c+4b,\infty }-\ldots$,

ou par la suivante :

$\mathrm {P} _{c,b}=2{\mathcal {P}}_{c,\infty }-2{\mathcal {P}}_{c+2b,\infty }+2{\mathcal {P}}_{3c+2b,\infty }-2{\mathcal {P}}_{3c+4b,\infty }+2{\mathcal {P}}_{5c+4b,\infty }-\ldots$.