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68. Distribution des probabilités. — La connaissance de la probabilité pour que le cours $c$ soit atteint à une époque donnée ne résout pas d’une façon complète le problème que nous nous sommes proposé ; il nous reste à étudier le cas où le cours $c$ n’est pas atteint avant l’époque $t$.

Par exemple, un spéculateur ayant fait un achat au cours zéro se propose de vendre au cours $c$. Il est utile de connaître non seulement les probabilités pour qu’il puisse effectuer cette vente à chaque époque précédant l’époque $t$, mais aussi de connaître la probabilité pour qu’il gagne la somme $x$ à l’époque $t$ si la vente ne peut être effectuée, le cours n’atteignant pas la valeur $c$.

La probabilité pour que le cours soit $x$ à l’époque $t$, le cours $c$ n’étant pas atteint avant cette époque, est

${\frac {1}{2\pi a}}\left[\mathbf {e} ^{-{\frac {x^{2}}{4\pi a^{2}}}}-\mathbf {e} ^{-{\frac {(2c-x)^{2}}{4\pi a^{2}}}}\right]$.

69. Pour obtenir le cours dont la probabilité est la plus grande dans le cas où le cours $c$ n’est pas atteint, il suffit d’annuler la dérivée de l’expression précédente, ce qui donne

${\frac {x}{2c-x}}+\mathbf {e} ^{-{\frac {c(c-x)}{\pi a^{2}}}}=0$.

Si l’on suppose que ${c=a}$, on obtient ${x_{m}=}$ −1,5$a$.

Si l’on suppose que ${c=2a}$, on obtient ${x_{m}=}$ −0,4$a$.

Enfin, on aurait ${x_{m}=-c}$, si $c$ était égal à 1,33$a$.

70. La probabilité pour que le cours soit compris, à l’époque $t$ entre zéro et $c$, le cours $c$ n’étant pas atteint antérieurement, est

${\frac {1}{2}}-2{\mathcal {P}}_{c}+{\mathcal {P}}_{2c}$.

$c$ est exprimé en prenant $a$ pour unité, ${\mathcal {P}}$ se calcule d’après la Table du paragraphe 15.

71. Si ${c=a}$, la probabilité est 0,024. Donc l’acheteur qui se