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diminue, il est intéressant d’étudier la variation du produit de ces quantités.

Les formules (1) et (2) peuvent s’écrire

$h=a-{\frac {m}{2}}+f(m)$,$l=a+{\frac {m}{2}}+f(m)$.

Le produit $hl$ a pour valeur

$a^{2}-{\frac {m^{2}}{4}}+2af(m)+[f(m)]^{2}$ ;

sa dérivée relative à $m$

$-{\frac {m}{2}}+2af'(m)+2f(m)f'(m)$

s’annule pour ${m=0}$, car, pour cette valeur, $f'$ est nul ; alors ${h=l=a}$.

Le produit d’une prime par son écart est donc maximum quand les deux facteurs de ce produit sont égaux ; c’est le cas de la prime simple.

En multipliant les séries (1) et (2), on a d’ailleurs

(3)

$hl=a^{2}-{\frac {(\pi -2)m^{2}}{4\pi }}+{\frac {4m^{4}}{96\pi ^{2}a^{2}}}-\ldots$.

On pourrait poser en première approximation

$hl=a^{2}$ ;

le produit d’une prime par son écart serait alors constant.

Si l’on donne $a$ et $h$, la valeur qu’on obtient pour l’écart $l$ par la formule précédente est trop grande.

Si l’on donne $h$ et $l$, la valeur qu’on en déduit pour $a$ est trop faible.

Si l’on admet la loi précédente et l’uniformité, ${a^{2}=k^{2}t}$, et, si l’on considère des primes de même importance $h$, leur écart $l$ est proportionnel au temps.

43. La loi précédente n’est pas suffisamment approchée ; on