Le principe de l’espérance totale nous conduit donc à la relation ou, en faisant les réductions,
![{\displaystyle \int _{m+h}^{\infty }\varpi (x-m-h)\,\mathrm {d} x-\int _{m}^{m+h}\varpi (m+h-x)-h\int _{-\infty }^{m}\varpi \,\mathrm {d} x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a0cd1fd3fa4e5e37304042c47763c2108868d6)
,
ou, en faisant les réductions,
![{\displaystyle h+m\int _{m}^{\infty }\varpi \,\mathrm {d} x=\int _{m}^{\infty }\varpi x\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65d3e761538bb9cd08e72033d03b9de0393abc64)
.
Cette équation aux intégrales définies établit une relation entre l’écart et l’importance d’une prime.
39. Si, dans cette équation, on remplace
par sa valeur,
![{\displaystyle \varpi ={\frac {1}{2\pi a}}\mathbf {e} ^{-{\frac {x^{2}}{4\pi a^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84206e1d867ce14d6f5249987775f61b2d931c96)
,
et si l’on développe l’intégrale en série, on obtient
![{\displaystyle h-a+{\frac {m}{2}}-{\frac {m^{2}}{4\pi a}}+{\frac {m^{4}}{96\pi ^{2}a^{3}}}-{\frac {m^{6}}{1920\pi ^{3}a^{5}}}+\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae49d51cff7a6381e4f128a8b8fa0b140fa7871)
.
Cette formule, qui exprime la loi des écarts de prime, fournit une relation entre l’importance
de la prime, son écart
, et l’importance
de la prime simple relative à la même échéance ; elle permet donc de calculer l’une quelconque de ces quantités quand on connaît les autres.
Si, par exemple,
et
sont connus, la série précédente permet de déterminer
.
40. Pratiquement, l’importance de la prime est toujours comprise entre
et
. Il en résulte que l’on peut, dans la formule précédente, supprimer les termes en
et en
. On obtient ainsi
![{\displaystyle a={\frac {\pi (2h+m)+{\sqrt {\pi ^{2}(2h+m)^{2}-4\pi m^{2}}}}{4\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f32a5b6d4b84f80cb788a54f5a65cd02c0ce70)
.
Avec cette même approximation on aura pour valeur de
en