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agissant indifféremment dans divers sens doit conduire à une loi unique.

Ce principe est ce que l’on nomme dans d’autres théories, l’hypothèse des erreurs infinitésimales.

Mais si la formule elle-même est bien connue, elle a ici une propriété spéciale :

Elle est exacte.

Alors que dans les autres applications elle est approchée et asymptotique. Étant exacte et rigoureusement continue pour les deux variables $x$ et $t$, elle a servi de point de départ pour une étude très étendue, alors que précédemment elle était une fin.

9. Les cours $+x$ et $-x$ ont même probabilité, c’est une conséquence de ce fait que le principe de l’espérance mathématique ne doit pas seulement être vérifié pour l’époque $t$, mais d’une façon générale pour toutes les époques et tous les intervalles de temps.

10. Courbe de probabilité. — La fonction

$y={\frac {\mathbf {e} ^{-{\frac {x^{2}}{\varphi (t)}}}}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {\varphi (t)}}}}\,\mathrm {d} x$

peut se représenter par une courbe dont l’ordonnée est maxima à l’origine et qui présente deux points d’inflexion pour

$x={\frac {\pm {\sqrt {\varphi (t)}}}{\sqrt {2}}}$.

La probabilité du cours $x$ est une fonction de $t$ qui croît jusqu’à une certaine époque et décroît ensuite ; cette fonction est maxima quand le cours $x$ correspond au point d’inflexion de la courbe de probabilité.

11. Espérance mathématique. — Il s’agit de l’espérance mathématique positive d’un spéculateur qui achèterait de la rente au cours actuel pour la revendre à l’époque $t$.