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tans, le problème deviendra beaucoup plus simple ; $\chi$ et $\omega$ ne seront plus fonctions que de $h,$ et si l’on désigne par $x$ la largeur variable du profil, à la surface de l’eau, cette nouvelle quantité sera également une fonction de $h,$ et l’on aura

$d\omega =xdh.$

[19.] Substituant cette dernière expression dans l’équation de l’article 17, et remplaçant ${\tfrac {\mathrm {Q} ^{2}}{\omega ^{3}}}$ par sa valeur $v^{2},$ on obtient

$ds={\frac {{\frac {v^{2}x}{g\omega }}-{\sqrt {\iota -i^{2}}}}{{\frac {\chi }{\omega }}\left(av+bv^{2}\right)-i}}dh,$

équation de la forme $ds=\mathrm {F} (h).dh,$ la plus simple qui puisse être soumise au calcul intégral. Elle donnera pour chaque valeur de ${\tfrac {ds}{dh}},$ dont l’inverse ${\tfrac {dh}{ds}}$ sera la tangente trigonométrique de l’angle formé par la surface de l’eau avec le fond du lit ; et puisque par la quantité i on connaît l’angle de ce fond avec l’horizon, on en conclura la déclivité de la surface du courant, rapportée également à l’horizon : cela peut être quelquefois utile.

[20.] Parmi les valeurs individuelles qu’on peut assigner à $h$ dans l’équation précédente, il en est une particulièrement remarquable : c’est celle qui rend la quantité ${\tfrac {ds}{dh}}$ infinie. Il est clair qu’il faut et qu’il suffit pour cela que cette valeur de $h$ satisfasse à l’équation

${\frac {\chi }{\omega }}\left(av+bv^{2}\right)-i=0.$

La quantité linéaire ${\tfrac {\omega }{\chi }}$ est ce qu’on appelle, à l’exemple de Dubuat, le rayon moyen de la section transversale. Dans les cas d’application qui comporte l’analyse précédente, cette quantité croît en même temps que $h,$ et par conséquent ${\tfrac {\chi }{\omega }}$ décroît à mesure que $h$ augmente. Il en est évidemment de même de $v,$ et par suite de $av+bv^{2}.$ Il s’ensuit, 1^o que l’équation ci-dessus ne peut être satisfaite que par une seule