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${\begin{aligned}&{\frac {dp}{ds}}=g\ \sin \gamma -{\frac {g\chi }{\omega }}\ (av+bv^{2})-{\frac {dv}{dt}},\\&{\frac {dp}{dy}}=-g\ \cos \gamma .\end{aligned}}$

[12.] Attendu que $\gamma$ n’est pas fonction de $y,$ on tire de la seconde équation

$p=-gy\ \cos \gamma +c,$

$c$ désignant une quantité indépendante de $y,$ mais qui peut être fonction de $s.$ Pour la déterminer, on observera que le courant étant en contact avec l’atmosphère, la pression à sa surface est une quantité constante. Soit $\mathrm {A} ,$ cette pression constante, et soit $h$ la valeur de $y$ qui, dans la tranche considérée, correspond à la surface de l’eau. En d’autres termes, $h$ est la distance du point $\mathrm {P}$ de l’axe, à la surface du courant dans cette tranche. On aura

$\mathrm {A} =-gh\ \cos \gamma +c\ ;$

et, en éliminant $c$ entre cette équation et la précédente,

$p=\mathrm {A} +g\ (h-y)\ \cos \gamma .$

[13.] Ayant obtenu cette formule générale, je puis en conclure une deuxième expression de la dérivée partielle ${\frac {dp}{ds}}.$ À la rigueur, les quantités $h$ et $\cos \ \gamma$ sont, toutes les deux, fonctions de $s$ ; mais attendu le mouvement presque rectiligne du courant, l’angle $\gamma$ varie de quantités négligeables par rapport aux accroissemens de $s.$ En conséquence, je considère comme constant, dans la différenciation, $\cos \ \gamma ,$ qui d’ailleurs diffère toujours très peu de l’unité ; j’aurai donc

${\frac {dp}{ds}}=g\ \cos \gamma .{\frac {dh}{ds}}.$

[14.] De cette équation et de la première des deux qui terminent l’article 11, je tire

$\sin \gamma .ds-\cos \gamma .dh-{\frac {\chi }{\omega }}\ (av+bv^{2})\ ds-{\frac {dvds}{gdt}}=0.$

[15.] Appelant $\mathrm {Q}$ le volume d’eau dépensé constamment dans