Ce point étant admis, en faisant jouer aux polynômes
le rôle que Fréchet fait jouer aux sommes de Fejer
attachées au développement de Fourier, il n’y a aucune difficulté à étendre sa méthode et son résultat au cas actuel.
De plus l’ensemble E forme dans D une famille normale, un ensemble compact et le développement en série d’intégrales converge uniformément dans E.
Chaque intégrale simple du développement de Fréchet est remplacée par une intégrale nuple prise suivant n courbes fermées situées dans les plans des variables respectivement.
Cas particulier des fonctions harmoniques.
Si l’ensemble E est formé de fonctions harmoniques réelles dans l’espace réel, le développement peut être obtenu sans avoir recours au domaine complexe, ce qui est bien naturel. On sait, en effet, que l’intégrale de Poisson qui résout le problème de Dirichlet pour le cercle ou la sphère permet d’obtenir le développement d’une fonction harmonique en série de Taylor au voisinage de l’origine. Dans le cas du cercle le développement est analogue à celui de Fourier, dans le cas de la sphère il procède suivant les fonctions sphériques de Laplace.
Dans le premier cas, les intégrales du développement de la fonctionnelle seront prises le long d’un cercle entourant l’origine. Ce cas ne diffère guère de celui de Fréchet. Dans le second cas, le développement de la fonctionnelle procédera suivant une série d’intégrales étendues à la sphère, que je suppose bien entendu intérieure au domaine D et dépendra des coefficients des polynômes de Legendre.
Sur quelques interprétations physiques.
Les potentiels newtoniens, électrostatiques, magnétiques, sont des fonctions harmoniques en dehors des masses matérielles ou électriques. Dans les problèmes de l’équilibre d’un corps élastique, de l’équilibre calorifique d’une plaque isotrope, de la distri-
