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En cherchant l’enveloppe des fils répondant à cette équation et tangents à $\mathbf {\rm {T}} _{2}$, on trouve la projection orthogonale de la courbe fusée sur un plan normal à ${\rm {O_{1}}}$. Voici le détail du calcul, en supposant la constante $\xi$ contenue dans K :

2. Supposons le tambour $\mathbf {\rm {T}} _{1}$ immobile et faisons tourner le rayon constructeur ${\rm {\overline {O_{1}C}}}$ d’un angle $\alpha$ en sens inverse du sens de rotation de $\mathbf {\rm {T}} _{1}$ (fig. 1),

Fig. 1

À chaque valeur de $\alpha$ correspond une position du point C, d’où partira le fil. Soit $\lambda$ la distance ${\overline {\rm {O_{1}C}}}$, et ($a$) l’angle ${\rm {\widehat {O_{1}C_{1}U}}}$ ; on a :

${\begin{alignedat}{3}{\overline {\rm {O_{1}C}}}^{2}&=l^{2}+{\rm {R}}^{2}-2l{\rm {R}}\cos \left(b+{\tfrac {\pi }{2}}\right);\\\lambda ^{2}&=l^{2}+{\rm {R}}^{2}+{\tfrac {2}{\rm {R}}}\sin(a-\varepsilon ):\qquad p(\alpha )&={\rm {R}}+l\sin(a-\varepsilon );\\\lambda ^{2}&=l^{2}-{\rm {R}}^{2}+2{\rm {R}}p(\alpha ).\end{alignedat}}\qquad \qquad$(3)

En appelant $\varphi$ l’angle ${\rm {\widehat {O_{1}CT}}}$, on a aussi :

$\sin \varphi ={\tfrac {p(\alpha )}{\lambda }},\qquad \cos \varphi ={\tfrac {\sqrt {\lambda ^{2}-p^{2}}}{\lambda }}.\qquad \qquad$(4)

Considérons alors la figure (2), où ($t$) et ($t+dt$) représentent deux tangentes infiniment voisines ; leur angle est $d(a+\alpha -\varepsilon )$. D’où, aux infiniment petits du 2^e ordre près :

$t={\tfrac {\rm {CN}}{d(\alpha +a)}}.$