section αβγ est une circonférence et que celles des faces de la pyramide avec le plan sont κλ, κμ. Décrivons dans le liquide, autour de κ pris pour centre, une autre surface de sphère sous εζηθ, ce sera ξοπ ; et supposons-la coupée (suivant cette ligne ξοπ) par la surface du plan. Supposons une autre pyramide semblable, égale et contiguë à celle qui contient le solide. Soient κμ, κν les sections de ses faces par le plan. Envisageons, dans le liquide, un volume de ce liquide même, soit ρστυ, égal et identique à la partie βηγθ du solide qui se trouve immergée.
Les parties de liquide qui sont dans la première pyramide sous la surface coupée en ξο et celles de la seconde sous οπ sont de même niveau et continues. Or[1] elles ne sont pas également poussées. En effet, celles qui sont en ξο sont poussées : 1o par le solide εζηθ, 2o par le liquide situé entre les surfaces λμ, ξο et les faces de la pyramide ; celles en οπ le sont : 1o par le solide ρστυ et 2o par le liquide situé entre les surfaces μν, οπ et les faces de la pyramide. Mais le poids du liquide μνοπ sera moindre que celui du liquide λμξο. En effet, la partie liquide ρστυ est moindre que le solide εζηθ, puisqu’elle est égale à la partie βγηθ et qu’on a supposé le solide de même poids et de même dimension que le liquide. Le reste des parties liquides est égal de part et d’autre.
Il est donc évident que le liquide, situé en οπ, cédera à celui qui est situé en οξ et qu’il ne sera pas en équilibre. Or on l’a supposé immobile[2].
Donc, aucune partie du solide en question n’émergera. Et le solide immergé ne descendra pas au fond, car toutes les parties du liquide, situées au même niveau, seront également poussées, puisque le solide est de même poids que le liquide[3].
- ↑ Ajoutons, pour la clarté : de la façon que nous avons supposé les choses, elles ne sont pas également poussées.
- ↑ Thurot résume ainsi cette longue démonstration : « Archimède démontre que le corps plongera tout entier, en établissant que si (le liquide étant supposé immobile) une portion du corps restait au-dessus de la surface, la portion du liquide placée sous le corps serait plus pressée que celle qui est à côté, et le liquide ne serait pas immobile ».
- ↑ La première partie du raisonnement montre que l’équilibre est impossible si le solide n’est pas entièrement immergé ; la seconde que l’équilibre est atteint dès qu’il cesse d’émerger. Mais, d’après le même raisonnement, l’équilibre subsis-
