en Χ, Φ. Par ces droites, menons des plans perpendiculaires à ΟΡ et prolongeons-les au-dessus et au-dessous du plan ΟΞΠΡ. Chacun de ces plans produira : 1o dans le demi-cylindre qui a une base égale à ΟΠΡ et une hauteur égale à l’axe une section en forme de rectangle, dont un côté égale ΚΣ (ou ΤΖ) et l’autre égale l’axe ; 2o dans le prisme triangulaire ΘΗΜ une autre section rectangulaire, dont un côté égale ΛΧ (ou ΥΦ) et l’autre égale l’axe.
[Considérons la paire de rectangles égaux ΛΧ, ΥΦ du prisme, d’une part, et les rectangles correspondants ΣΚ, ΖΤ du demi-cylindre, d’autre part. Tous ces rectangles ayant même hauteur, leurs aires — égales deux à deux — sont proportionnelles à leurs seconds côtés. On a donc :
Les rectangles ΣΚ, ΖΤ ont respectivement leurs centres de gravité au point de rencontre de leurs diagonales (lemme V) et par conséquent aux milieux des droites ΣΚ, ΖΤ. Le centre de gravité de leur système sera donc situé sur la droite qui joint ces milieux (lemme II) et, par raison de symétrie, au milieu de cette droite, c’est-à-dire à sa rencontre β avec ΞΠ.
Semblablement le centre de gravité du système des rectangles ΛΧ, ΥΦ sera situé à la rencontre α de ΞΠ avec la droite qui joint les milieux de ΛΧ, ΥΦ.
Le triangle rectangle ΗΛΧ semblable à ΗΞΘ étant
