Mais ΑΚ² = ΑΠ² + ΠΚ², ΑΠ² = ΠΟ² — puisque ΑΗ² = ΕΗ² — ; donc :
(2) |
ΓΑΑΠ = ΚΠ² + ΠΟ²ΠΟ² = cercle ΚΛ + cercle ΡΟcercle ΡΟ, |
et, comme ΑΓ = ΑΘ :
(3) |
ΑΘΑΠ = cercle ΚΛ + cercle ΡΟcercle ΡΟ. |
Si donc on suppose le cercle ΡΟ déterminé dans le cône par le plan parallèle à la base du segment, transporté en Θ comme centre de gravité, puisque ΚΛ, ΡΟ ont pour centre de gravité Π, le cercle transporté fera équilibre par rapport au point Α à la somme des deux cercles ΚΛ, ΡΟ — déterminés dans le segment et dans le cône — laissés en place.
Il en sera de même pour tous les cercles de même genre déterminés par les plans parallèles à la base du segment : toujours le cercle déterminé dans le cône ΑΕΖ, transporté en Θ, équilibrera par rapport à Α ce même cercle et le cercle déterminé dans le segment sphérique, laissés en place. Au total donc, le segment et le cône, laissés en place, équilibreront par rapport à Α le cône transporté en Θ comme centre de gravité.
Considérons maintenant un cylindre ΜΝ équivalent au cône ΑΕΖ et prenons sur ΑΗ le point Φ tel que ΑΗ = 4 ΦΗ : Φ sera, comme on l’a vu (lemme VIII), le centre de gravité du cône ΑΕΖ. Coupons le cylindre par un plan perpendiculaire à ses génératrices, qui le divise en deux cylindres tels que l’un d’eux Μ fasse équilibre au cône ΑΕΖ. Puisque le cylindre total équivaut au cône ΑΕΖ,
