(Théorème VII).
Tout segment de sphère (à une base) est au cône [de même base et de même hauteur comme le rayon de la sphère plus la hauteur du segment supplémentaire sont à cette dernière hauteur seule[1]].
- ↑ Énoncé restitué d’après le Traité Sphère et cylindre, II, 2 (I, p. 194, Heib.), où Archimède donne une démonstration (ou plutôt une vérification) géométrique assez simple.
Si l’on appelle R le rayon de la sphère, h la hauteur du segment, h′ celle du segment supplémentaire, l’énoncé
du théorème VIII et les indications de la figure ; mais on pourrait arriver au même résultat par une méthode plus rationnelle, sans supposer le problème résolu. Puisque hémisph. + cône (en place) équilibrent par rapport à Α le cône (en Θ), le centre de gravité Ω du système « hémisph. + cône » doit satisfaire à l’égalité :
et, comme hémisph. = 2 cônes, il en résulte ΑΘ = 3 ΑΩ : le point Ω est donc au tiers du diamètre (ou aux 2/3 du rayon) à partir de Α. Le centre de gravité du cône (lemme VIII) est en Φ, aux 3/4 de ΑΗ. Donc le centre de gravité de l’hémisphère seul — différence du système et du cône — est (d’après lemme I), sur ΦΩ prolongé dans le sens de Ω, en un point Χ tel que :
en d’autres termes, à une distance de Ω moitié moindre (et de sens contraire) que celle de Φ. Calculons ΑΧ. On a ΩΦ = ΑΦ − ΑΩ = 34 ΑΗ − 23 ΑΗ = 112 ΑΗ ; donc ΧΩ = 124 ΑΗ et ΑΧ = ΑΩ − ΧΩ = 23 ΑΗ − 124 ΑΗ = 1524 ΑΗ = 58 ΑΗ. C. q. f. d.
