Ajoutant de part et d’autre ΣΠ², il vient :
comme nous l’avions annoncé.
Remplaçons maintenant, dans l’égalité (2), ΜΣ × ΣΠ par sa valeur ; il vient :
En d’autres termes, par rapport au point fixe Α, le cercle ΜΝ, restant en place, équilibrera la somme des cercles ΟΞ et ΠΡ suspendus au centre de gravité commun Θ, car les distances des centres de gravité au point fixe sont inversement proportionnelles aux poids considérés.
Semblablement, pour toute parallèle à ΕΖ menée à l’intérieur du rectangle ΑΖ et par laquelle on mène un plan perpendiculaire à ΑΓ, le cercle intercepté dans le grand cylindre, restant en place, équilibrera par rapport à Α les deux cercles interceptés dans l’ellipsoïde et dans le cône, transférés en Θ, comme centre de gravité commun.
Remplissons complètement ces trois corps de
les axes de l’ellipse, y, y′ deux ordonnées quelconques correspondantes du cercle et de l’ellipse. On a évidemment dans le cercle : y² = ΑΣ.ΣΓ et, comme y′ = y ba, il vient : y′² = (ΑΣ.ΣΓ) b²a² d’où ΑΣ.ΣΓy′² = a²b² = constante.
On peut aussi déduire cette relation de l’équation de l’ellipse rapportée à ses axes x²a² + y²b² = 1, d’où y² = (a² − x²) b²a². Or, ΑΣ.ΣΓy² = (a + x) (a − x)y² = a² − x²y² = a²b² = constante.
