effet une hypothèse vraisemblable que, de même que tout cercle équivaut à un triangle ayant pour base la circonférence et pour hauteur le rayon, ainsi toute sphère équivaut (en volume) à un cône ayant pour base la surface de la sphère et pour hauteur le rayon[1].
(Théorème III)[2].
1o Le cylindre ayant une base égale au plus grand cercle d’un ellipsoïde de révolution[3] et une hauteur égale à l’axe de ce solide vaut les 3/2 de l’ellipsoïde.
- ↑ Soit S la surface, V le volume de la sphère, R le rayon, C un grand cercle, notre théorème peut s’écrire :
(1)
V = 4 × C.R3. D’après l’hypothèse, V = S × R3. Substituant dans (1), il vient :
S × R3 = 4 × C.R3,c’est-à-dire S = 4 C.
Il faut ajouter que le texte est incertain et qu’on pourrait traduire inversement : « L’idée de ce théorème… est née de ce que la surface d’une sphère vaut 4 grands cercles ». En effet, dans le Traité De la sphère et du cylindre I, Archimède commence par établir longuement que l’aire de la sphère vaut 4 grands cercles (§ 33 = I, p. 137, Heib.), et de là il déduit (§ 34) le théorème que le volume de la sphère vaut 4 fois le cône ΑΒΔ. Pourtant Heiberg croit et je crois avec lui que la pensée d’Archimède a bien suivi l’ordre indiqué au texte.
- ↑ Cf. De conoid., prop. 29-30.
- ↑ Archimède dit : « un sphéroïde ».
