une apparence de vérité. Voilà pourquoi, voyant d’une part que le théorème n’était pas (complètement) démontré, supposant d’autre part la conclusion exacte, j’ai trouvé une démonstration géométrique que j’ai publiée précédemment[1] et que j’ajouterai plus bas en appendice[2] (?)
(Théorème II).
1o Toute sphère est quadruple du cône qui a une base égale à un grand cercle[3] et une hauteur égale au rayon de la sphère ;
- ↑ Archimède paraît n’avoir en vue ici (et ceci confirme l’opinion exprimée dans la note précédente) que la démonstration purement géométrique qui forme la deuxième partie de la Quadrature (§ 18-24). Elle repose sur le théorème que le diamètre mené du milieu de la base au sommet du segment vaut les 4/3 de la parallèle au diamètre menée du quart de la base à l’arc. On démontre alors facilement que le segment peut se décomposer en une série de triangles de plus en plus petits, ayant tous leurs sommets sur l’arc, et dont la somme a pour expression (1 étant le triangle initial, qui a même base et même sommet que le segment) :
1 + 14 + 14² + 14³ …, série dont la somme est 43.
- ↑ Τάξομεν, leçon douteuse de Heiberg. Rien ne prouve que la démonstration en question figurât réellement à la queue de notre traité.
- ↑ Archimède dit : « Le plus grand cercle de la sphère ».
c’est : 1o l’intrusion de la Mécanique dans une question purement géométrique ; 2o le procédé abréviatif qui consiste à considérer une aire curviligne comme une somme de droites « pesantes » et à conclure de l’équilibre, deux à deux, des portions de parallèles interceptées dans le segment et le triangle ΖΑΓ, à l’équilibre des aires du triangle et du segment. On voit que, sur ce point, je ne suis pas entièrement d’accord avec M. Painlevé.
