Comme ΓΑΑΞ = ΓΚΚΝ, on peut donc écrire aussi :
et, puisqu’on a pris ΚΘ = ΓΚ :
(2) |
ΚΘΚΝ = ΜΞΞΟ.[1] |
Transportons ΞΟ en ΤΗ, avec Θ pour milieu c’est-à-dire pour centre de gravité [Lemme III]. De même Ν sera le centre de gravité de la droite ΜΞ restée en place. Comme Κ est le point fixe du levier, on voit que, à cause de l’égalité (2), les droites ΤΗ (= ΞΟ) et ΜΞ se feront équilibre par rapport à ce point fixe, puisque les distances de leurs centres à ce point sont inversement proportionnelles à leurs longueurs (c’est-à-dire à leurs poids). Κ sera donc le centre de gravité de leurs poids composés.
Il en sera de même pour toutes les parallèles menées au diamètre à l’intérieur du triangle ΖΑΓ : la parallèle, restant en place, fera équilibre à sa portion comprise dans le segment, supposée trans-
- ↑ Jusqu’ici la marche de la démonstration concorde à peu près avec celle de la première démonstration (mécanique) donnée dans le Traité de la Quadrature de la parabole. À partir de ce point, elles divergent. Dans ce dernier Traité (§ 6-17), Archimède décompose le segment, par des parallèles équidistantes et un faisceau de droites tirées de Γ, en deux séries de trapèzes, l’une enveloppée, l’autre enveloppante, et il montre (en s’appuyant sur des lemmes mécaniques) : 1o que le triangle ΖΑΓ est plus grand que trois fois une de ces séries et plus petit que trois fois l’autre ; 2o que la différence entre ces deux séries peut être plus petite que toute valeur donnée.
