[Les propositions] ci-dessus [ont été précédemment] démontrées ; [on y joindra la suivante dont la démonstration est facile] :
IX. [Étant données deux séries de grandeurs AA1A2A3…, BB1B2B3… en même nombre et telles que le rapport de deux grandeurs de même rang soit constant AB = A1B1 = A2B2…], si tout ou partie des grandeurs A sont dans des rapports quelconques avec des grandeurs CC1C2… et si les grandeurs B de rang correspondant sont respectivement dans les mêmes rapports avec d’autres grandeurs DD1D2…, la somme des grandeurs A sera à la somme des grandeurs C considérées, comme la somme des grandeurs B à celle des grandeurs D correspondantes[1] :
- ↑ Ce lemme est la proposition initiale du Traité dit Des conoïdes et sphéroïdes (I, 290, Heib.).
Puisque CA = DB, ou CD = AB = m, et de même C1D1 = A1B1 = m, etc., on a évidemment : ΣCΣD = ΣAΣB, d’où ΣAΣC = ΣBΣD.
Notre lemme peut être appliqué (et l’était sans doute dans le texte intégral des derniers théorèmes) pour passer de la constatation de l’équilibre des sections AA1A2… CC1C2… déterminées par des plans équidistants dans un volume V et dans un volume auxiliaire W, à l’équilibre de ces volumes eux-mêmes. Considérons, en effet, les sections A comme les bases de prismes élémentaires BB1B2… dont la somme enveloppe le volume V ; et de même les sections C comme les bases de prismes élémentaires DD1D2… dont la somme
triangulaire ; 2o en passant de là à une pyramide polygonale ; 3o en considérant le cône comme la limite vers laquelle tend une pyramide inscrite quand on augmente indéfiniment le nombre des côtés.
